我的手机应用程序“ Rings”基于我上一次在1950年夏末玩的旋转木马游戏。花了将近50年的时间，我才意识到自己对金戒指的追求属于该类“外卖游戏”。
“ Take-Away”游戏的规范设置是一堆计数器。 根据“游戏规则”，两名玩家轮流卸下计数器，直到一无所剩。 届时，根据他/她是否参加了最后一场比赛，两名选手之一被宣布为获胜者。 在标准的“带走”中，获得最后一个计数器的玩家为获胜者； 该玩家是misère版本中的失败者。 问题是要在比赛开始时证明，以最佳表现，先发还是后发占据最后一个位置。
这种游戏的一个透明示例是“倒数到零”。 有一个初始数量的计数器，用C（0）表示，一个允许从堆中退出的闭合整数范围表示为[L，U]，其中L> 0和L <U <C（0）。 例如，令C（0）= 100，L = 1，U = 9。 现在考虑如果计数器堆达到10的情况。由于U = 9 <10，因此该回合的玩家无法获得所有计数器并获胜。 无论他/她删除多少个计数器，下一个玩家都将剩下的并赢。 通过向后归纳，我们看到“临界堆”为10、20、30….90。 对于允许间隔内的任何初始移动，第二个移动器可以撤回允许数量的计数器，以使两个移动的总和为10。因此，第二个移动器通过将计数器堆减少到90、80赢得“倒数到零”。 ，…，10.最小临界堆大小为U + L，因为从该堆中进行选择的玩家为其继承人赢得了胜利。
“倒数到零”的“倒数”是“ X的倒数”，其中过程从零开始，X是大于U的某个目标数。玩家选择加数，直到其总数达到X。让我们对L和L使用相同的值分别为U，1和9，并令X = 100。 您的直觉可能是因为“倒数到零”和“竞赛到100”是“倒数”，所以这场比赛的获胜者是第一手。 但是不，出于相同的原因，会导致相同的“临界堆”大小：10、20、30，…，90。如果计数达到90，则先行者允许的任何移动都将产生一个总数，该总数可以增加为第二个移动者100。 如果先行者从[1,9]的初始选择是m，则后进者相加10-m，从而创建第一个关键堆尺寸10。最小的关键堆尺寸是90，因为第二个移动者有把握赢得。
单堆是“ Take-Away”最简单的设置，但是调整“ Countdown to Zero”的规则可以产生许多有趣的游戏。 2013年9月29日的《纽约时报》第21页上有一个很好的例子。 “不要贪婪”有三个规则：“（1）玩家从堆中移走最后一个卵石或卵石，将赢得比赛； （2）在游戏的第一步骤中，不允许玩者移走所有卵石并立即获胜（这是贪婪的）； （3）第一步移动后，除去的小卵石的数量不能大于紧接在前一转弯中除去的小卵石的数量（这会更贪婪）。”也就是说，每转一圈除去的小卵石的数量顺序是一个非递增序列。 从一堆12个小卵石开始，并假设达到最佳发挥，先行者或次要者在Do n’t Greedier中获胜吗？
该游戏被认为是大学申请者的挑战性问题。 这是解决“不要贪婪”的一个宽泛提示：最佳收获量必须严格小于堆放量的一半； 否则，您的对手可能会在此之后立即拿走剩余的部分。 称其为“ 1/2规则”。 在确定第一个或第二个赢家以一堆大小12获胜之后，尝试解决任何大小的一堆问题。 提示：首先，考虑偶数和奇数大小的堆； 然后，在偶数集内，突出显示那些是2的幂的数。
因此，您是否愿意接受“别再贪婪”的挑战？ 在C（0）= 12的情况下，初始交易量必须为5个或更少的计数器（6个或更多的计数器将违反“ 1/2规则”）。 如果C（0）如此之小，您就可以通过强力判断先行者是否有一定的获胜优势：明智的五局得分：1、2、3、4、5玩“不要贪婪”。优雅的方法是通过向后归纳法找到“关键堆”。
一堆只有一个计数器的东西是微不足道的。 由于采取一个反击总是可行的举动，因此该回合的玩家将获胜。 一堆两个计数器（2¹）同样透明：如果有2局可用，则该局回合的玩家将获胜； 如果没有，则由另一名玩家获得最后的计数器。
假设游戏已经发展到只有四个剩余计数器的状态。 届时，轮到该玩家的玩家必须停留在不超过一个计数器的状态下（争夺2违反了“ 1/2规则”）。 单个计数器的“强制”取用有两个直接后果：现在堆中包含奇数个计数器（3）； 下一位玩家必须正好占据一个计数器。 这保证了赢得临界堆大小为4的玩家的胜利； 按照平价，玩家从3堆中删除1个计数器，必须取最后一个计数器。
4之后的下一个“临界堆”是什么？ 注意4 =2²。 假设下一个临界堆为8 =2³（记住“ 1/2规则”）。 面对一个8堆的玩家不能超过四个（“ 1/2规则”），从而使他无法为对手制造2的“关键堆”。 在三个可用的接球（1、2或3）中，第一个和第三个无法建立获胜位置，因为堆中将包含奇数个计数器（偶数减去奇数是奇数）； 一个聪明的对手会做出一个反击，以确保在一系列强制性单下之后她会最后一个反击。 唯一剩下的选择是拿2个计数器，但是此举将堆数减少到6个计数器（8–2 = 6）。 现在，刺痛开始了：删除2个计数器（6–2 = 4 =2²）可得到最小的临界堆。 必须从4堆中进行选择的玩家必须输掉对手的最佳玩法。
通过类似的推理链，我们可以得出结论，下一个“临界堆”为16 =2⁴，但这大于C（0）= 12。 因此，先行者可以通过删除4个计数器来设计8 =2³的关键堆。
我们已经从这种特殊情况中学到了足够的知识来解决一般问题。 如果C（0）包含奇数个计数器，则先行者可以通过在她的第一个举步中获得一个计数器来强制获胜。 先行者将在延长的1下注序列之后采取最后一个计数器。 如果C（0）是“关键堆”，则先行者失去位置； 因此，对于k个正整数，C（0）= 2 ^ k是第二手的胜利。 仅需要考虑另一种情况：偶数初始堆不是2的幂：C（0）= 2j，其中j是一个正整数； 2 ^ k <C（0）<2 ^（k + 1），其中k是一个正整数。 对于这样的中间值，先行者的开门次数严格小于C（0）/ 2，等于C（0）-2 ^ k。 这为第二个移动者创建了一个2k的临界堆，这是一个发挥最佳的失败位置。
因此，“别贪婪”在最初的桩子上隔离了孤岛，这是第二动者的胜利，即C（0）= 2 ^ k。 其他每个起始位置都是先行者的胜利。 就是这样，伙计们。
Nim可能是2人“外卖”游戏类中最著名的成员。 该名称源于“ nimm”，德语动词的命令式“ nehmen”，意为“服用”。 Nim通过增加桩数来修改“倒数到零”。 玩家每回合只能从一个筹码中取走，但可以从选定的筹码中删除任意数量的指示物。 取得最后一个计数器的玩家将赢得标准Nim； 在misère版本中，接受最后一个计数器的玩家输了。 从一开始，就以最好的表现，赢得了Nim任一版本的赢家。
关于Nim的两个清楚的论述可以在www.archimedes-lab.org/game_nim/nim.html和http://jdh.hamkins.org/win-at-nim-the-secret-mathematical-strategy中找到。 Hamkins并非从一般情况的二进制表示开始，而是任意数量的桩，每个桩中都有任意数量的计数器，而是对“关键桩”和“平衡位置”进行了温和介绍。 对于Nim，我无法改善这些来源。
最小的，非平凡的3堆Nim配置为3–4–5。 该数组的二进制表示为
由于2¹列的模2的总和不为零，因此该数组是“不平衡的”，这种情况可以通过从最小的堆中删除3个计数器中的2个来解决。 该选择产生1–4–5的配置，并且是第一个移动者唯一的获胜方式。
那么，这次简短的“外带”游戏调查的“收获”是什么？ 实际上，有两个：（1）没有“ Take-Away”游戏允许“ null”动作； （2）任何“外带”游戏的玩家不得超过两个。
禁止零举动有两个相关的原因，一种是技术上的，另一种是程序上的。 要求玩家至少有一个柜台，以确保“ Take-Away”游戏是有限的； 因此，该游戏至少具有一个纳什或次游戏完美均衡。 程序上的原因是，面对失败位置的玩家无法进行反击，将这种情况转移给对手。 在拥有两名博学多识的玩家的情况下，每场比赛都将采取以下两种不感兴趣的模式之一：（1）无止境的无动作序列（如果先行者是输家）； （2）一次最佳移动，然后是无动作的无休止序列（如果先行者是赢家）。 诚然，如果双方都对基础数学有完全的了解，即使没有零举动也不能使“ Take-Away”游戏变得“有趣”。 当两个人都知道哪些策略对保证平局时，有多少人选择打“井字游戏”？
缺少多人“带走”游戏的原因很难解释。 让我们看看为什么即使“三个倒数”都遵循“游戏规则”，将第三个玩家添加到“倒数至零”还是有问题的。 假设游戏已发展到以下阶段：玩家“ i”具有可行的举动，该举动产生了最小的“临界堆”，定义为多个计数器，以便下一位玩家进行的任何可行举动都可以确保赢得他/她的继任者。 如果玩家“ i”选择该举动，他/她将使玩家（“ i” +2）mod 3成为获胜者，这可能会导致这两名玩家串通以分享胜利的战利品。 具有两个以上玩家的“外带”游戏属于组合（合作）游戏类，此类游戏通常在核心中具有多个要素，这些要素由不同的联盟支持。
尽管外观，“ Ye Olde Original Carousel”之后的“ Rings”中的所有游乐设施均为两人“ Take-Away”游戏。 即使“环”包含了无效移动（通过），并且轮播中有您，巫师和至少两个小丑的位置，也是如此。 小丑总是打个圈，使“环”成为有限的游戏，只有两个活跃的决策者“你和巫师”之间的较量。
