这是我写过的最长的（非官方科学的）文章/帖子，按照科学文章的惯例，我将以TL; DR作为主要关注点：
- 皇家大逃亡是“付出2赢”吗？ 从技术上讲是。 但是，我们将得出一个粗略的技能估算公式-中和“钱包大小”参数（大部分）。
- 事实证明，从长远来看，限制玩家升级卡的能力的资源是金，而不是纸牌数量。 每个箱子仅包含使用同一箱子中所含卡片所需的大约60％的黄金。 明智地选择升级哪些卡，以及忽略哪些卡。
- 除非您确实需要非常特定的卡，否则请不要在商店中购买卡。
- 始终向氏族成员捐款-这符合您的最大利益。
- 几乎一半的黄金收入来自“免费”和“皇冠”宝箱-即使没有赢得一场比赛，您也可以获得这些钱。
- Supercell使用了伪随机的硬编码的胸滴序列，该序列经过精心设计，比实际的随机滴感觉更随机和“公平”，并以精确计划的时间间隔分配“哇”的时刻。
- 我们将计算一个免费的2人游戏玩家达到每个级别需要多少时间。 几天后可能会达到5级，但要达到12级需要几年的时间 。 从字面上看。
皇室冲突谁？
即使您不是游戏玩家，您也可能听说过《部落冲突》。 毕竟，没有多少手机游戏能够负担得起利亚姆·尼森（Liam Neeson）的超级碗广告。
别让卡通风格的设计蒙骗您-2015年，《部落冲突》（Clash of Clans）为游戏创造者Supercell估计每天创造150万美元的收入。 现在，北欧公司发布了一个新的大片：《皇家大逃杀》。
该游戏大约在1.5个月前在全球范围内发布，已经拥有数千万的下载量，活跃的社区和用户生成的内容（Youtube视频，流媒体，游戏指南网站，Wiki等），这基本上是每个游戏开发人员的梦想。 其大获成功的部分原因是受欢迎的Clash of Clans品牌（Clash Royale使用相同的知识，角色和视觉设计），部分是Supercell愿意为游戏投入巨额营销预算，但也许最大的部分是那个游戏真的很好。
游戏的战斗理论很深，所以现在我只专注于一些战略性问题，并尝试使用MATH的能力提供答案：）。
2级系统的故事
我通常更像是一个顽固的战略游戏玩家，但是Clash的“边玩边玩” PVP动态中有一些东西给我。 单击此处获取构成“游戏本身”的约3分钟比赛的示例。 比赛的获胜者获得约30个奖杯（失败者则输掉），即比赛的积分榜系统（类似于炉石明星系统）。
冲突的战场。 部署部队，看着他们自主作战。
这是Clash中的第一个进阶系统-基本上，“越好”是您拥有的奖杯越多（“越好”不一定是技能更高的）。 球员根据他们的奖杯数进行匹配-基本上是他们的MMR（对接比赛等级）-累积或失去奖杯，直到达到平衡状态：平均获胜率约为50％。 奖杯晋级系统为球员提供了一个目标，一个奋斗的目标据称证明了他们的优点并提供了吹牛的权利。 请注意，此进度比例是可逆的：如果您打得不好或选择了糟糕的套牌来进行这些决斗，那么您将跌倒。 这与第二种进步系统形成鲜明对比，第二种进步系统是一种缓慢的，类似研磨的过程，它只能提高进步卡的质量并获得玩家的XP和等级。
玩Clash时，您会得到各种品质的箱子-包含卡片和黄金。 您可以牺牲一张卡的多个副本来升级它-使它好10％，并在每个新卡级别上获得一些玩家XP。 尽管“功绩”进度是以奖杯衡量的，“磨削”进度大致是根据玩家的经验衡量的。 每个玩家等级，除了更强的卡牌之外，还使您的塔身坚固7–8％，因此逐渐获得更多的箱子可使您客观地“更好”。
[旁注：卡牌的威力比防御塔要快一些，因此在更高的等级下，摧毁防御塔更容易，天生的防御者在地图一侧战斗的优势就不那么明显了-更加强调单位与单位战斗玩家前进。 不错的设计风格。]
这种获取和升级卡牌的过程是步调长期游戏进度的主要机制。
样品台。 注意卡级别，下次升级所需的卡数量，卡稀有度（由蓝橙色紫色表示），左上方的玩家级别和可爱的艺术品🙂
毫不奇怪，您可以使用真钱购买箱子和黄金。 这引起了很多玩家的强烈反对-面对客观上更强的牌和塔的对手并不是“公平”的，仅仅是因为他们在游戏上花费了更多的钱-是吗？ 这使我们想到了第一个问题：
Clash Royale是“赢得胜利”吗？
简短的回答：是的。 您可以通过付钱使您的卡和塔严格更坚固。
更长的答案：取决于您所说的“获胜”。
假设我想知道我在比赛中的表现如何-我的实际技能和能力是什么-我的“功绩得分”是多少。 在撰写本文时，在几乎每天进行的2-3周内，我还没有花任何钱购买游戏。 我现在是6级（与我的技能无关），大约有1500个奖杯（与之相关）。 1500很多吗？ 好吧，世界上最好的选手达到了4000人左右，而3000人以上的人都被认为是“传奇人物”。 1500距离还很遥远–但是距离初始0也很远。我是否应该简单地说一下我的技能水平是1500奖杯？
不。我的双重实力大约是以下三个主要因素的总和：
力量=玩家等级+游戏执行力+牌组选择
我的玩家等级定义了我的塔身强度，同时也是我的卡牌等级的近似指标。 显然，我的牌和牌越强，我获胜的机会就越高。 这与我的“真正技能”无关。
甲板选择是模糊评估甲板性能的好坏，它的各种卡片相互补充，以及与您遇到的最流行甲板相比有多好。 技能确实在这里发挥了作用，但是有时缺少某些卡牌的使用限制了甲板的建造。
游戏中的执行力是最明显的技能依赖因素-我在驾驶自己的套牌并对对手的动作做出反应方面有多出色。 钱买不到。
由于我处于平衡状态，所以我输了大约相同次数的比赛，因此我和对手的力量得分大致相同。 我的对手的平均水平是6.3–6.4（大约30–40％是7级，其余的是6，这里和那里很少有5）。 因为我有50％的赢率与比我高一点的玩家对决，所以从上面的等式可以得出，我的执行力和甲板建设（因此我的技能水平）略高于他们的（平均水平）。 如果我的平均对手水平是7甚至更高，那意味着我比他们要好得多-因为我设法克服了拥有较差的塔和纸牌的障碍。
这是对玩家技能的更为客观的衡量，即尽我们最大能力抵消卡牌质量的影响。 这几乎与奖杯的实际数量无关：
技能〜（平均对手塔和卡等级）/（您的塔和卡等级）
与所有简单模型一样，它只是一个近似值，并且有许多不准确之处，但可以提供更“公平”的价值衡量。
你应该买卡吗？
在《 Clash》中，您从宝箱中获得的黄金主要用于卡升级，但也可以用于直接在商店购买特定卡。
卡可直接购买。 您购买的越多，它们变得越昂贵。
乍一看，这个问题似乎很愚蠢-如果您想要卡片并有钱-为什么不呢？ 但是正确的方法是长期考虑：我们的目标是最终升级我们的卡，这需要金卡和多张卡副本。 限制因素是什么？ 从长远来看，我们会先用完黄金还是用完纸牌？ 让数学开始……
让我们看一下普通和稀有卡升级的数量和价格：
计算升级所需的每张卡黄金数量，我们得到以下图形：
请注意，普通卡在第6级之后，每张卡的价格变为常数（10），而在稀有商品后，则变为第3级后几乎变为常数（40-50）。 啊哈！ 闻起来像隐藏的顺序🙂
因此，如果我们要升级每张累积了所需份数的卡，则每个箱子平均每张普通纸箱必须装有10枚金币，每张稀有箱要装有40枚金币。 如果箱子中的黄金多于黄金，那么我们应该大量购买多余的黄金，如果它们中的黄金少，我们就无法升级所有积累的卡，而不得不放弃我们最不喜欢/不使用的卡。
Clash中的胸部掉落统计数据有些复杂，但是在游戏的Wiki上有相当详细的记录，因此我们将使用它们的数字并估算他们没有的数据。 您得到的大多数宝箱都是“银色”和“免费”的，它们似乎产生的奖金几乎相同。 胸部的内容还取决于您收到时所获得的奖杯数量。 以我目前的排名为例，每个宝箱包含7张普通卡-每张卡都有约10％的卡升级为稀有或史诗[侧面说明：这意味着每7张卡包大约有50％的机会拥有至少1张卡比普通黄金更好）和46–58黄金（为简单起见，假设每箱平均52黄金 ，尽管实际平均价格似乎略低） 。
让我们比较这两种资源。 使用最占优势的每张卡黄金数量，而忽略获得史诗卡的极少数情况，我们可以计算出使用每张收到在胸口的卡所需要的总黄金量：
每箱所需的黄金=卡数* [
（有可能成为普通*普通卡每张金牌）+
（概率为稀有*每张稀有卡含金）] =
7 * [0.9 * 10 + 0.1 * 40] = 91
重要的是要记住，我们所有的数据和计算值都是近似值，可能包含10-20％的误差，但是升级需要91金币，而每箱需要52金币，这是一个巨大的差异。 在计算中包括史诗卡只会使情况变得更糟，因为它们的每张卡黄金约为200，这需要更多的黄金。
“黄金”和“皇冠”箱子是下一层箱子。 在同一个奖杯级别上，一个金箱包含161–184金（ 平均约172 ），有23张卡-保证其中2张稀有或更好。 进行相同的计算将显示大约需要320金 ，这再次超出了所提供的数量。
排名最高的情况也同样糟糕：一个银色的宝箱平均包含约85枚金牌和11张牌-导致143对85：所需数量的60％。
第一个明显的结论是，从长远来看， 我只能升级约60％的卡 （假设仅通过箱子进行升级），因此在升级每张卡之前，我应该优先考虑和考虑。
第二个结论是，除非我真的需要这些非常特殊的卡，否则我不应该从商店购买卡–限制因素是金，而不是卡数量。
大逃杀（Clash Royale）中的另一种元游戏机制是向公会捐赠卡片的选项。 每8个小时，每个氏族成员可能会要求接收一张特定的卡的捐赠-如果您选择捐赠，不仅将卡转移到发出请求的玩家手中，而且还为您带来了一些金钱和玩家XP的麻烦。 这种机制对玩家来说完全是有益的-例如，因为您和朋友可以决定请求同一张卡，并且只是在你们两个之间来回捐款-每笔交易都能赚取金币和XP，而不会丢失任何卡。 关于游戏在建立社会凝聚力和激励积极的玩家互动方面所做的努力有很多话要说，但我将侧重于数学方面： 您应该捐赠几乎所有可能的卡，即使出于纯粹自私的原因 。 正如我们所说，限制因素是黄金，因此“出售”不需要的卡牌是正确的选择-即使您并不在乎帮助您的队友。
（免费2局）进度有多快？
安装《皇家大逃杀》后，您几乎第一眼看到的是一则消息，上面写着“ Clash Royale是免费游戏，但您可以通过游戏内购买来加快进度”。 自然进步速度是多少？
显然，我们在谈论进展的“磨碎”部分。 很难预测您实际游戏技能的增长速度。 衡量“磨削”进度的自然参数是XP-因此，让我们看看它的获得速度。
获得XP的主要方法是通过升级卡。 再次忽略史诗卡，因为它们非常稀有，我们得到下表每等级的XP获得值：
正如我们在上一节中所看到的，升级卡的限制因素是金，因此我们可以放心地假设我们有足够的卡来进行升级-并专注于每种金币的“ XP收益”。 用“升级成本”除以“升级成本”，我们得到：
请注意，在最初的几个级别之后，“每金XP的兑换”转换率几乎保持不变（每枚硬币等于或小于0.05兑换XP）。 [旁注：早期阶段的高效率是产生“快速进步”感觉的机制之一，这种感觉在比赛的最初几个小时通常很重要]。 由于绝大部分黄金都用于升级高级卡，因此我们可以使用0.05转换率作为合理的近似值（而不考虑无数可能的选择）。
我们多快获得黄金？ 假设我们现在不支付现金并且忽略捐赠机制（该机制同时提供少量的黄金和XP），我们只剩下6种类型的箱子可以为我们提供黄金：
大约1500个奖杯获得的宝箱黄金价值。
“解锁时间”是什么意思？ Supercell在Clash中做出的最佳设计决策之一是胸部存储和解锁机制。 对于每一次胜利，您都会获得一个宝箱，但是却无法打开它并立即获得奖励-首先您必须解锁它。 解锁胸部的过程需要不同的时间长度，具体取决于其类型，并且在任何给定时刻只能解锁1个胸部。 此外，您只有4个胸部存储槽（其中1个在任何给定时间可能会解锁）-因此，如果您在插槽已满的情况下赢得比赛，您将获得奖杯，但没有胸部。
这种机制不仅将“磨碎”进程与实时而不是游戏时间联系在一起，而且还鼓励玩家每次短时间玩几局游戏。 大多数免费的2玩游戏会通过某种形式的能量机制来限制游戏频率-基本上是使您每Y次玩X次以上（除非您当然要花钱），这通常会惹恼玩家并损害游戏的沉浸感。 能源系统不仅仅可以增加货币化（相对较少的玩家为能源付费），还可以减少玩家的倦怠。 通常使用的比喻是吃太多可口的蛋糕-很好吃，但是您在一天内就吃了，现在感觉就像您再也不想看到另一个蛋糕了……
冲突（如“辐射防护棚”）可以解决职业倦怠问题，而不会因人为限制玩法而烦扰玩家。 这会让您因为不愿意玩太多东西而感到聪明，因为您想获得更多努力。
胸部插槽系统虽然起初有点令人讨厌，但它是一种让玩家每天几次短时间玩游戏的好方法。
“免费”和“皇冠”箱子的获取方式不同，不需要解锁或存储在4个插槽中，因此它们是平行的黄金来源。
需要澄清的第二点是，为什么“随机”周围带有引号。 赢得战斗后获得的箱子类型似乎是随机的，但实际上是由240个箱子的硬编码周期决定的-确切地包含180个“银色”箱子，54个“金色”箱子，3个“魔术”箱子和3个“巨型”箱子每个箱子。 假设最佳效率的（不切实际的）情况（使胸部在每个给定的时刻都处于主动解锁状态）将需要花费1044小时才能解锁整个周期，即43.5天。
由于我们知道了放下箱子的确切顺序，并且使用上面的表格，我们可以绘制整个1044小时周期内不同箱子的每小时黄金生产速率：
每小时从箱子里取出金子。 高尖刺是“巨型”的胸部，中尖刺是“魔术”的，细小的胸膛是“金色的”。
请注意，在大多数情况下，黄金的产生率一直保持恒定（ 每小时约39黄金 ）-“银”和“金”箱子每小时产生的硬币数量几乎相同，因为“银”的解锁速度更快，而“银”的释放速度更快和“皇冠”箱子与周期无关。 实际的平均周期接近每小时43.5金 -由于特殊箱子的贡献。 几乎一半的收入来自“免费”和“皇冠”替代物品箱-因此，请不要低估它们！
[旁注：特殊箱子的时间由Supercell的聪明设计师精心选择-每个不寻常箱子的掉落都是令人激动的高峰。 第一个“魔力”宝箱在游戏中很早就掉落了-以帮助玩家入门并吸引他们，但随后大约有500个小时（在不可能的最佳情况下）-半个周期-只有一个“巨人”宝箱。 除其他外，它显示了Supercell对核心游戏质量和成瘾性的信心-因为他们相信玩家会在大约3个“荒芜”的星期中不会停止游戏，尽管不会因异国情调的掉落而感到“惊叹”。 然后，在周期的后半段，对玩家进行“补偿”，也许是重新点燃了人们对游戏的热情，而这种激情在每天玩了几周后自然会消失。
使用伪随机丢弃周期而不是实际随机概率的另一个可能原因是，有时真正的随机感觉不够“随机”。 仔细选择“黄金”宝箱与“银色”宝箱的分布，以便在一个“黄金”到下一个之间始终有1-4个“银色”宝箱–“比实际随机数”更“随机”，公平。
现在我们已经估算出了黄金的流动量，我们将其乘以近似的每黄金利率XP并得出：
XP /小时= XP /金*黄金/小时= 0.05 * 43.5 = 2.175 XP /小时= 52.2 XP /天
请注意，通过积极地向公会成员捐款，很有可能每天获得10-15 XP，甚至更多，这可以通过直接赚取XP以及从最终获得的XP中获得XP来获得。 这使得氏族贡献更加值得推荐-因为它们可以将等级提升20％到30％。
现在，我们将其与每个级别所需的XP数量进行比较，并计算到达每个级别所需的时间的下限。 我将每天XP的使用率提高了25％，作为来自战队贡献（和成就）的XP估算：
假设获得2场免费比赛和1500座奖杯，则估计达到每个级别所需的天数。 10–12级太高，无法以与4–5级相同的比例显示。
10级：270天，11级：700天，12级：1850天（？！？）。
经过几天的活跃游戏后，您可以达到5级，但较高的水平似乎要求非付费玩家花费不合理的时间。 等级8需要大约2个月，等级9则需要4个月-即使以最佳播放速度也是如此。 更不用说10–12级了，这简直是行不通的。
另一方面，可以合理地假设一名玩家随着其玩法的增加和等级的提高而获得更多的奖杯。因此，对于更高等级的玩家，获得更高的奖杯数可能更准确，这意味着箱子中的金币更多，这意味着每小时可以获得更多的经验值。 可悲的是，即使我们假设奖杯数很高（2000+），这种效果也只能将进度额外提高20-25％。 达到12级还需要几年的时间…
因此，我猜想“我不付钱就能升级多快”这个问题的最准确答案是“根本不快”。 也许目标是达到8级并对此感到满意。
甚至更好-也许目标是达到第8级，然后向第10级“钱包战士”表明钱不能买到技能🙂
直到下一次，即使面对“不公平”的情况，您也可能会对自己的能力充满信心。
迈克尔
这是我的博客： lifeinagraph.shalyt.com的转贴 。 随时访问我，与我一起对游戏，人和其他复杂但很棒的系统进行数学分析。
